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  • 2006年センター試験 数学ⅠAのらしくないような解説(?)

今日はセンター試験2006年度、数学IA(本試験、しかも第一問だけ)の解説をしたいと思います。(誰?)
ただし、どこの馬の骨といわんばかりのものなので何かあったときの責任とかは一切とりません。


第一問[1]

x^2-3x-1=0 を二次方程式の解の公式を用いて解くと
x=(3±√13)/2・・・アイウ
ここで
3=√9<√13<√16=4より
6<3+√13<7
3<α<4 よってm=3・・・エ

同様に
3=√9<√13<√16=4より
-1<3-√13<0
-1/2<β<0
よって、-1<-1/2<0だから、n=-1・・・オ

1/α=2/(√13+3) だから、有理化(両辺に√13-3を掛ける)して
1/α=2(√13-3)/(13-9)=2(√13-3)/4=(√13-3)/2

したがって、α+1/α=(3+√13/2)+(√13-3)/2=2√13/2=√13・・・カキ

α^3+(1/α)^3=(α+1/α)(α^2-1+(1/α)^2) ・・・①(三乗の展開公式の奴。僕はこれを使ってます。計算ミスしにくいので。)

α^2+(1/α)^2=(α+1/α)^2-2 だから
α^2+(1/α)^2=11・・・②

②を①に代入して
α^3+(1/α)^3=√13*(11-1)=10√13・・・ケコサシ

誘導もかなり計算の楽な形式となっていますので、「かなり易しい」問題といって過言じゃないでしょう。

第一問[2]
必要条件と十分条件について、たとえば
「こがも隊は将棋倶楽部24のサークルの○○条件である?」と聞かれた場合、
まず、こがも隊をN、将棋倶楽部24のサークルをSとします。
[~はの前に書いてある条件をN、その後のやつをSとする)
N:こがも隊 はこがも隊だけしかありませんが
S:将棋倶楽部24のサークル は知っているだけでもたくさんのサークルがあります。

条件を満たすものがたくさんあるほうが、Nのほうが多いとき→必要条件
条件を満たすものがたくさんあるほうが、Sのほうが多いとき→十分条件
条件を満たすものがたくさんあるほうが、同じとき→必要十分条件
条件を満たすものがたくさんあるほうが、違うとき→必要条件、十分条件のどちらでもない

となります。
今回、
「こがも隊は将棋倶楽部24のサークルの○○条件」
で、明らかにSのおうが多いので
「こがも隊は将棋倶楽部24のサークルの十分条件」
となります。

これを抑えて解きます。

まずスですが
否定なので③を選ぶ。
よってス・・・③

セですが、ここでさきほど説明したことをやります。
『「qかつr」はpの○○条件?』ですが
とりあえず、pについてはa,bは√がつくものとか以外なら何でもいいわけですよ。(ぇ
でも、「qかつr」のときはa=√3,b=-√3のとき、a+b=0,ab=-3,a/b=-1となり、条件は満たしますが、pの条件を満たしていません。(有理数じゃないから)

したがって、pのほうにqかつrにないものがありましたので
『「qかつr」はpの必要条件』・・・①

これがわかっていれば、最後の問題は楽勝。
↑のやつから明らかにpならばqは成立します。
当たり前ですが、「その逆」は成立せず、対偶も成立しますのでソは②となります。


ちょっと解説書いてみたけど打つの大変だなぁ。多分解説はこれ一度きりだなw
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